打不死的拓樸量子電腦

未來的計算世界，將由量子電腦主導。

量子電腦之所以比傳統電腦迅速而強大，是因為它依靠的不只是 0 和 1 這種二分法位元；它還可以有 0 和 1 的「疊加態」所形成的具「單位轉換」（unitary transformation）性質的位元，在 0 與 1 之間舖張出一個單位球面網，於其上漫行自由。

然而，實現量子電腦的困難在於：讀取。

也許你聽過「薛丁格的貓」：盒子裡的貓處於「生」與「死」的某疊加態，可以不算生也不算死。但當你打開盒子看貓，「讀取」貓的狀態，貓便瞬間崩成絕對的「生」或「死」。

我們總不希望量子電腦的精心計算，在我們讀取的那一剎那，全部崩潰。

解決方法有二：
一、儘量把讀取過程的外界干擾降低，並處理誤差。
二、做一個對外界干擾根本沒反應的電腦。

其中，以第二個方法在現實世界中較可行。它就是打不死的「拓樸量子電腦」（Topological Quantum Computer）。


拓樸學是數學裡想像力最可愛的一支。你把馬克杯表面壓壓揉揉，完全不須把表面撕裂或擰融消除，就可以擠出一個甜甜圈（見圖）；因此，馬克杯就是甜甜圈，二者是同一個東西。或者，你把一條直直的麻花辮彎起來，它還是同織樣的一條很牢靠的麻花辮。所以，如果世界上有個東西帶著這樣的拓樸性質：外界怎麼干擾扭壓，性質都還是不變，那它就有潛力成為打不死的拓樸電腦。

但，哪有這種東西呢？比如說，把一根鐵條拉長，它兩端的電阻就變大了。一群相斥的電子裡，隨便把哪兩個電子拉近，整個系統的庫倫位能就變高了。

所以，我們需要一個個體距離很遠、總能量很低的系統，如此，當系統被拉扯致使某兩個電子靠近時，其他電子可以游刃有餘的調整一下自己的位置，使總能量保持不變。但，距離又不能太遠，不然它們只是一個個互不相干的個體，各自對我們沒什麼幫助。

因此，我們構想一個極低溫的粒子系統，讓一對一對粒子們互繞，它們的世界線（時空中的軌跡）於是纏成各種麻花辮，形成具有打不死拓樸性質的量子位元，可供讀取。


於是，科學家們想到了可能存在於分數量子霍爾效應（fractional quantum Hall effect）裡的「非阿貝爾式」（non-abelian）的「任意子」（anyons）。


分數量子霍爾效應只出現在低溫（例如 20 milikelvin）高磁場的平面電子裡（通常是利用位能差，夾在砷化鎵半導體三明治裡），這些電子相互作用形成「準粒子」（quasiparticles）。二維空間與一維時間形成三維時空；其中，兩個準粒子逆時針對調兩次位置又回到原位，與，準粒子都不動，這兩個情形的拓樸圖是不同的，因為前者（左圖）的軌跡纏辮無法解開成後者（中圖）。（但中圖和右圖就是一樣的麻花辮。）三維空間（四維時空）多了一維，就一定不會有這種纏結情況出現，回到原位便等於是完全沒動過。所以，三維空間裡，粒子互換位置所對應的相位改變只能是 +1（稱為玻色子）或 -1（費米子），如此，「互換兩次」（波函數乘以相位兩次）才會對應「回到原位」 +1 的相位改變。相反的，二維空間互換位置的相位改變就可能是任何單位為 1 的複數值（比如說 i 、-i ……等等）。這些準粒子被稱為任意子。量子位元便由任意子所組成。

於是我們可以製造圓環型的干涉儀讓準粒子們繞。相位本身不是可以測量的物理性質，但彼此干涉（也就是軌跡在時空裡綁麻花辮）後得到的振幅可以反應在物理現象（如導電率等）上，能夠測量。這就是「讀取」量子位元的方式。


任意子未必具有打不死拓樸性質。所謂「時空」麻花辮；除了空間，時間的順序性也要能夠牢靠不被外界干擾。假設有三個相同的任意子在 A、B、C三處上，對調 A、B 處的任意子再對調 B、C 處的任意子，所經歷的相位變化，若與先調 B、C 處再調 A、B 處相同，這種任意子便被稱為「阿貝爾式」；若不同，則稱為「非阿貝爾式」。我們要的就是時間順序有鑑別性的「非阿貝爾式」。


科學家已經提出「控制反閘」（controlled NOT gate）的實驗構想。有了非阿貝爾式任意子，控制反閘錯誤率可降至 10 的 30 次方分之一！有希望（但尚未證實）成為非阿貝爾式任意子的系統有分數量子霍爾效應的 5/2 與 12/5 態。但 5/2 態並不具單位轉換性質，12/5 態卻又太微弱。然而，對這些態進行測量，相當有助於了解麻花辮與小圓環干涉儀的物理現象。目前量子計算只能在極低溫下進行。要建造打不死的拓樸量子電腦，還有很長一斷路要走呢。


為任意子蓋了很多小圓環的姆奈 筆




主要參考資料：

Sankar Das Sarma, Michael Freedman, and Chetan Nayak
Topological quantum computation
Physics Today 4, 123 (2006).

Graham P. Collins
Computing with Quantum Knots
Scientific American 4, 57 (2006).

一代宗師 Michael Freedman 與少年英雄 Chetan Nayak 等人所主持的華山論劍：
Microsoft Station Q